这学期选了应用统计学，据说很难的样子，感觉要挂科了😭 但是可达鸭不会就这样轻易地🐶带。。先把概率论复习一下🤣

频率与概率

　　频率是具体的，概率是抽象的。
　　频率是可知的，概率是未知的，通过大量实验的频率来预测概率。
　　独立重复试验中，频率依概率收敛于概率。（伯努利大数定理）

条件概率

　　$P(B | A)=\displaystyle\frac{P(A B)}{P(A)}$

　　A发生的条件下B发生的概率 = AB同时发生的概率 / A发生的概率
　　AB同时发生的概率 = A发生的概率 × A发生的条件下B发生的概率

分布函数和概率密度函数

　　$F(x)=P{X \leq x}$ 要计算随机变量X落在某个区间的概率，使用分布函数相减就可以了。
　　连续型随机变量的概率密度函数$f(x)$满足
　　$P(a<x \leq b)=\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) d x$

独立性

　　${P(A B)=P(A) P(B)}$
　　${F(x, y)=F(x) F(y)}$ 联合分布函数 = 边缘分布函数的乘积
　　${f(x, y)=f(x) f(y)}$

贝叶斯公式

　　事件已经发生了，探究事情的发生是由哪一个原因造成的。
　　$P\left(B | A\right)=\displaystyle\frac{P\left(A | B\right) P\left(B\right)}{P(A)}$

　　[例] 对以往数据分析结果表明，当机器调整的良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%，试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？

　　提示：设A={产品合格},B={机器调整良好}，套用贝叶斯公式即可。

离散型随机变量及分布

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二项分布

　　$P{X=k}=C_{n}^{k} p^{k} q^{n-k}, \quad k=0,1, \cdots, n$
　　记为$X \sim B(n, p)$。原型为n重伯努利试验，事件A恰发生k次的概率。(n=1时，退化成两点分布) 　　$E(x)=np ,D(x)=np(1-p)$

泊松分布

　　$P{X=k}=\displaystyle\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k !}, \quad k=0,1,2, \cdots$
　　记为$X \sim P(\lambda)$。原型为稀有事件发生的概率。
　　$E(x)=\lambda ,D(x)=\lambda$ 　　设$\lambda=n p_{n}$ 则，
　　$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} C_{n}^{k} P_{n}^{k}\left(1-P_{n}\right)^{n-k}=\frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda}$

连续型随机变量及分布

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均匀分布

　　$f(x)={\displaystyle\frac{1}{b-a},} {a \leq x \leq b}$
　　记为$X \sim U(a, b)$
　　$E(x)=\displaystyle\frac{a+b}{2} ,D(x)=\displaystyle\frac{1}{12}(b-a)^2$

指数分布

　　$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}, {x \geq 0}$
　　记为$X \sim Exp(\lambda)$ 　　$E(x)=\displaystyle\frac{1}{\lambda} ,D(x)=\displaystyle\frac{1}{\lambda^2}$

正态分布

　　$f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\displaystyle\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}, \quad-\infty<x<+\infty$
　　记为$X \sim N(\mu,\sigma^2)$ 　　$E(x)=\mu ,D(x)=\sigma^2$

随机变量的期望、方差、协方差

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　　样本均值的期望等于总体的期望，样本方差的期望等于总体方差的期望。

统计量

　　不含未知参数的样本的函数称为统计量。
　　(1) $\bar{X} = \displaystyle\sum ^{n}_{i=1}X_i$ 样本均值
　　(2) $S^2=\displaystyle\frac{1}{n-1} (X_i-\bar{X})^2$ 样本方差
　　(3) $DX = Var_X = E{(X-EX)^2}$ 总体方差
　　(4) $V=\displaystyle\frac{S}{\bar{X}}$ 变异系数
　　$D_X = E(X^2) - (EX)^2$
　　$E(X^2) = \sigma^2 + \mu^2$

统计量的定理

　　$E(\bar{X})=\mu,Var(\bar{X})=\displaystyle\frac{\sigma^2}{n}$，即$D(\bar{X})=\displaystyle\frac{D(X)}{n}$

　　$E(S^2) = \sigma^2$

协方差和相关系数

　　$\operatorname{Cov}(X, Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}$
　　$\operatorname{Cov}(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$
　　若X,Y相互独立，则协方差为0。但是若X，Y协方差=0只能得出X、Y不相关(线性相关)，无法得出XY相互独立。

　　相关系数 $\rho_{x y}=\displaystyle\frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}}$

切比雪夫不等式

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　　设随机变量 X 的方差 D(X)存在，则对于任意实数$\varepsilon >0,$
　　$P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq \displaystyle\frac{D(X)}{\varepsilon^{2}}$

统计中常用的分布族

Gamma分布族

　　若随机变量X具有密度函数：
　　$f(x: \alpha, \lambda)=\displaystyle\frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}, x>0$
　　其中$\Gamma(\alpha)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} x^{\alpha-1} e^{-x} \mathrm{d} x$

　　$\Gamma\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} ; \Gamma(1)=1 ; \Gamma(n+1)=n \Gamma(n)$
　　 性质：
特征函数$\varphi(t)=E e^{i X t}=\left(1-\displaystyle\frac{i t}{\lambda}\right)^{-\alpha}$
　　$E(X)=\displaystyle\frac{\alpha}{\lambda} D(X)=\frac{\alpha}{\lambda^{2}}$
当$\alpha=1$时，$Ga(1,\lambda)$就是参数为λ的指数分布.$Ga(\displaystyle\frac{n}{2},\frac{1}{2})$称为n个自由度的$\chi^{2}$分布，记作$\chi^2(n)$分布。